Frit fald og Isaac Newton

Hej Malte Olsen
Jeg har i fjernsynet set en sige, at hvis man vejer 100 kg, og falder 10 meter, så får man en fart på 50 km/t. Og når man rammer jorden kommer man til at veje 100 tons lige når man rammer jorden. Er det rigtigt forstået, og hvad er formlen?

Med venlig hilsen
P B C

Isaac Newton opstillede de ligninger, som bruges til at bestemme bevægelser. I denne sammenhæng er hans såkaldte 2. Lov den interessante.

Den siger F = konstant * m * a, hvor F betyder den samlede kraft på et legeme, som har massen m, og derved får accelerationen a. Måler man F i enheden newton (1 newton er ca. den kraft man mærker fra tyngden, når man tager et 100 g lod i hånden), m i kg og a i m/s², kan loven skrives F = m * a.

I tyngdefeltet kommer accelerationen fra tyngdekraften. Der er altid kræfter imellem to masser, også f.eks. to biler, der holder på gaden, kræfterne er blot meget små, der skal noget tungt som jorden til at give noget, som nemt kan mærkes. Når man falder, er det altså to masser der falder imod hinanden, personen og jorden, men da jorden er så tung, opdager man ikke, at den falder. Accelerationen i tyngdefeltet kaldes traditionelt g og den har størrelsen g = 9,82 m/s² her i landet.

Den varierer lidt for det første, hvis der er tunge masser i jorden f.eks. malmlejer, men det kræver fine måleinstrumenter for at opdage det, for det andet efter hvor man er på jorden. På grund af jordens rotation er tyngdeaccelerationen ved ækvator ca. 9,7804 m/s² til nordpolen ca. 9,8322 m/s².

Galileo Galilei undersøgte bl.a. faldet

Han lod en tung og let kugle falde fra det skæve tårn i Pisa og konstaterede, at de så vidt det kunne skønnes fladt lige hurtigt. Han målte på kugler der rullede ned af skråninger og opstillede bevægelseslove for dem. Han indførte den naturvidenskabelige metode, som går ud på at lave forsøg og matematisk teori om forsøget og hele tiden veksle imellem teori og kontrol af rigtigheden ved forsøg (i modsætning til tidligere, hvor man i høj grad bare satte sig og tænkte sig frem til, hvordan naturen mon var indrettet, eller udlagde naturens indretning ud fra f.eks. biblen).

For dit spørgsmål kan de ligninger skrives (hvis ser bort fra luftmodstand, og starter med farten 0 m/s).: v = g * t og s = ½ * g * t²,  hvor v er farten nedad, g er tyngdeaccelerationen se ovenfor, t er den tid der går fra start, til hvor vi er nu, s er strækningen målt fra startstedet ned til, hvor vi er nu. Hvis man finder t af den første ligning og indsætter i den anden fås: s = ½ * g * (v/g)² = ½ * v²/g, flytter man om på det fås: v² = 2 * g * s. Med dit eksempel 10 m får man fra s= 10 m = ½ * g * t² = ½ * 9,82 (m/s²) * t², heraf fås t² = 2,037 s² altså t = 1,43 s. Indsætter vi så i v = g * t = 9,82 (m/s²) *  1,43 (s) = 14,02 m/s = 50,5 km/h.

Havde vi valgt den anden ligning v² = 2 * g * s = 2 * 9,82 (m/s²) * 10 (m) = 196,4 (m/s)² får man naturligvis også (det er jo samme ligning bare omregnet) v = 14,02 m/s. Er der luftmodstand falder f.eks en flamingoskumskugle lidt langsommere end en blykugle i samme størrelse, men det er svært at se på små højder. Det kendes fra faldskærmsspringere, der falder frit fald. Når mange laver formationer i luften kommer de i samme højde ved at krumme sig samme, så de falder hurtigere eller brede sig ud til langsommere, faldhastighederne ligger omkring 250 km/h og noget opefter.   

For den sidste del af spørgsmålet må jeg sige:

Det kommer an på, hvordan man rammer jorden. For at forklare det et eksempel. Hvis en kampvogn rammer frontalt ind i en betonklods (som bliver stående) med 10 m/s (36 km/h) og får en bule på f.eks. 10 cm bliver den accelereret fra 10 m/s til 0 m/s på 0,1 m. Indsætter vi ovenfor får vognen en acceleration fra v² = 2 * a * s (g er udskiftet med a, fordi det ikke er tyngden): (10 (m/s))² = 2 * a * 0,1 (m), heraf a = 500 m/s² eller 50 * g. Gør vi det samme med en moderne bil med deformationszoner, og antager vi, at køleren måske trykket 50 cm samme fås (10 (m/s))² = 2 * a * 0,5 (m), heraf a = 100 m/s² eller 10 * g. hvilket er betydeligt mere overleveligt.

Fra newtons lov kan man se, at i bilen kan man (hvis rattet holder) køre uden sikkerhedssele, hvis man i armene kan løfte F = m * a = 100 (kg) * 100 (m/s²) = 10 000 newton eller 1000 kg. Kan man ikke det, og har man ikke sikkerhedssele på, stikker man i reglen hovedet igennem forruden, og hvis man ikke er heldig, slår man øjnene ned i glasskårene (ved 36 km/h) og bliver invalid - brug derfor sikkerhedssele. Hvad man kommer til når man lander fra frit fald, kommer altså an på, om det f.eks. er på ryggen, skråt på benene osv. eller kort sagt, hvor stor er acceleration.

I alle tilfælde lander man på hårde flader som jord, beton mm., kan man i allerbedste fald normalt se frem et langt sygeleje.

Skal jeg omsætte dine 100 t = 100 000 kg skal middelaccelerationen være 1 000 000 (newton) = 100 (kg) * a, a = 10 000 m/s² og med v = 14 m/s fås som ovenfor (14 (m/s))² = 2 * 10 000 (m/s)² * s heraf s = 0,0098 m (10 mm) og det er nok i underkanten, så dit tal er nok noget højt.

Med venlig hilsen
Malte Olsen