Tidens gang relativistisk

Kære Spørg om Fysik
Jeg har læst, at tid er afhængig af hastigheden, med hvilken man bevæger sig og, tyngdekraften. Altså at et ur, der bevæger sig med høj hastighed, går langsommere end et ur, der står stille, og et ur, der påvirkes af stor tyngdekraft går langsommere, end et ur, der påvirkes af mindre tyngdekraft.

Jeg har også fundet ud af, at forskellen i målt tid ved forskellig hastighed, kan beskrives som t(i bevægelse)=€ x t(i stilstand), hvor € er Lorentzfaktoren, der beregnes som kvadratroden af 1 minus hastigheden i anden delt med lysets hastighed i anden.

1. Mit spørgsmål er, om der findes en lignende måde til at beregne den tilsyneladende forskel i tid på en planet e.l. med stor tyngdekraft og en med lille. Helt konkret hvordan man beregner forskellen i målt tid for en mand, der bor på Jorden og en mand, der bor på Jupiter.
    
2. Ville forskellen i tyngdekraft være stor nok til at en mand, der bosatte sig på Jupiter i en betydelig del af sit liv, ville være bemærkelsesværdigt yngre end sin tvillingebror, hvis han vendte hjem til Jorden?

Håber I kan hjælpe mig med dette spørgsmål.

Med venlig hilsen
S M. H

Mange tak for dit meget interessante spørgsmål. Du har fuldstændig ret i, at tidens gang påvirkes af tyngdekraften. Dette er beskrevet i den almene relativitetsteori, som udvikledes af Einstein i årene op til 1915.

Men lad os først tage effekten af bevægelse, som du beskriver helt korrekt.

Denne effekt beskrives af den specielle relativitetsteori fra 1905, der som bekendt ligeledes skyldes Einstein.

Her vil tiden på et bevæget ur gå langsommere end tiden på et stationært ur med faktoren

  √(1-(v/c)² ) ,

hvor v er hastigheden af uret, og c = 3x10⁸ m/s er lyshastigheden. Lod vi fx. et ur flyve med konstant 1000 km/timen omkring Jorden i et år, ville uret i flyet vise omkring 0.002 sek mindre end det tilsvarende ur, man havde efterladt i hvile. Skiftede man urene ud med to tvillinger, ville den flyvende tvilling altså være ældet tilsvarende mindre end den stationære. 

Lad os dernæst vende os mod effekten af tyngde. Holder vi os på behørig afstand af sorte huller, så vil et ur i et tyngdefelt gå langsommere med faktoren

  1+U/c²,

hvor U = GM/r er tyngdepotentialet. Her er G = 6.67x10^-11 m³/kg/s² Newtons gravitationskonstant, M er massen af det objekt der skaber tyngdefeltet, og r er afstanden til centrum af dette objekt.

Lad os tage et kært eksempel: Jorden. Her har faktoren 1+U/c² værdien 6.9x10^-10, som tilsvarer at man i løbet af et år ældes 0.02 sek mindre end man ville have gjort, hvis man opholdt sig i et område uden tyngdekraft. Nu spørger du om Jupiter. Jeg har slået tallene op og sat ind i udtrykket, og hvis jeg har regnet korrekt, skulle du på Jupiter ældes 0.66 sek mindre per år end i et tyngdefrit område. Altså 0.64 sek mindre end på jorden. 

Hvorfor er effekterne så små? Ja det har jo samme årsag som ved bevægelse. Lyshastigheden c er enorm stor, og når vi dividerer med kvadratet på lyshastigheden, så bliver effekterne nu engang små.

Lad os tage et eksempel, hvor det begynder at ligne noget: en neutronstjerne. Lad os tage en typisk en af slagsen: 2 solmasser tung, og en radius på 12 km. Nu nærmer vi os tilstandene tæt på et sort hul, så de ovenstående udtryk er ikke længere helt korrekte, men ikke helt dårlige heller. Så lad os ufortrødent fortsætte. Under denne forudsætning, ville man faktisk ældes 49 dage per år mindre end i det tyngdefrie område. Ikke dårligt. Til gengæld vil man opleve en tyngdekraft der er 200 milliarder stærkere end på Jorden, så man ville nok føle sig lidt fladmast. 

Nu kunne man spørge, om effekter af denne størrelse ikke er total uinteressante for vort liv på Jorden.

Det kunne man måske mene, i hvert tilfælde indtil udviklingen af GPS-systemet, som vi i dag benytter til næsten al navigation ved jordoverfladen. GPS-systemet er baseret på 24 satelitter, som kredser omkring Jorden i en afstand af 26 200 km fra Jordens centrum. Hver satellit bærer et meget præcis atom-ur, og sender regelmæssigt radiosignaler ned mod jordoverfladen. Disse signaler bærer besked om satelittens tidsvisning, og ved at sammenligne signaler fra mindst 3 satelitter er modtageren i stand til at bestemme sine koordinater.

For sateliturets gang må man tage højde for både satelittens bevægelse, og for det faktum, at satelitten befinder sig i et svagere tyngdefelt, end det vi har ved jordoverfladen. Førstnævnte effekt vil få satelituret til at gå langsommere med med omkring 7 mikrosekunder per døgn; sidstnævnte effekt vil få det til at gå hurtigere med omkring 45 mikrosekunder per døgn. Ialt vil satelituret altså gå hurtigere med omkring 38 mikrosekunder per døgn, end et tilsvarende ur i hvile på jordoverfladen. Generelt kræver vi, at sateliturene må gå præcis til nogle få nanosekunder, for at de er anvendelige til navigation. Tog man således ikke højde for relativistiske effekter, ville GPS-systemet altså have mistet sin anvendelighed få minuter efter dets igangsættelse. Det er interessant at bemærke, at man ved opsendelsen af den første GPS-satelit i 1977 først lod satelituret gå uden korrektioner for relativistiske effekter.

Efter 20 døgn målte man en fejlvisning på satelituret på 771 mikrosekunder, hvor man teoretisk forventede 764 mikrosekunder. Altså en verifikation af de samlede relativistiske effekter til en præcision på bedre en 1%.

Efter denne måling justerede man selvfølgelig skyndsomt uret ind, så det tager højde for de relativistiske effekter.

Forresten faldt jeg netop over en artikel, der beskriver den nyeste generation af atomure. De har en uhørt præcision, som tilsvarer 1 sekund på 3.7 milliarder år. Altså nogle få sekunder fejl i tiden siden Big Bang! Med to sådanne ure i laboratoriet, hvor det ene var anbragt 30 cm højere end det andet, var man faktisk i stand til at måle effekten af tyngdefeltet på tidens gang. Man kan altså vende argumentationen omkring, og bruge ure til at måle små ændringer i tyngdefeltet. Dette kan have interesse for udsøgningen af underjordiske forekomster at olie og mineraler. 

Med venlig hilsen
Mogens Dam