Bøjning af rør og stænger

Hej Brevkasse
Et spørgsmål der gælder et væddemål, og lidt ære: To rør med samme dimension og længde, det ene hult, og det andet massivt, af enten stål eller jern. Hvilket rør er stærkest, hvis de bøjes?

Er blevet henvist fra Politikens Oplysning.

På forhånd tak, og med venlig hilsen
K T

Det er jo et emne, som ingeniører beskæftiger sig med ved konstruktionen, men det er nok også fysik.

For et firkantet legeme med højden, h og bredden b gælder, idet man kalder den faktor som afgør, hvor meget legemet bøjes nedad, når man trykker ned på det, for J (des større J des sværere er det at bøje stangen): J = 1/12 * d * h³ altså det er meget sværere at bøje et højt smalt legeme end et bredt legeme med samme areal. Det ved man også godt, for man ved, at det er nemt at bøje et bræt på den tynde led og svært på den brede (på højkant).

For rør gælder J = π/4 *( R⁴ - r⁴), hvor R er den ydre radius og r den indre.

For et rør og en stang af samme materiale og samme ydre diameter gælder altså

• Stang:  J = π/4 *R⁴ idet r = 0 for en massiv stang
• Rør:  J = π/4 *( R⁴ - r⁴)  = π/4 * R⁴ - π/4 * r⁴.

For røret skal der altså trækkes noget fra værdien for stangen, røret bøjes altså mere for samme kraft (røret kan ikke klare så stor en belastning).

Ser man på et rør med samme mængde materiale som stangen (samme antal kg pr. meter), er forholdet anderledes.

Arealet af røret er A = π * (R²₁- r²), arealet af stangen er A = π * R² ,  hvor R₁ er den ydre radius af røret som er større end R,  som er radius for den massive stang. Der gælder så, hvis arealerne skal være ens:

π * (R²₁- r²) = π * R² eller R²₁ = R² + r² , indsættes det fås for et rør med samme areal som en massiv stang:

J = π/4 *( (R² + r² )² - r⁴) =  π/4 *((R⁴ + 2R²*r² + r⁴) - r⁴) = π/4 *((R⁴ + 2R²*r²) altså J for røret bliver større end for stangen med leddet  2R²*r².

Hvis vi antager, at rørets ydre radius er R₁ = 2R, altså den ydre radius er dobbelt så stor som R (ydre radius for stangen), fås ud fra den formel der blev fundet ovenfor R²₁ = R² + r², bliver resultatet (2R)² = R² + r² altså bliver r² = 3 * R² . Indsættes det i vore formel for J fås:

   J = π/4 *( (2 * R)⁴ - (3 * R²)²) = π/4 *(16 *R⁴ - 9 * R⁴) = 7 * π/4 * R⁴

altså, det er 7 gange sværere at bøje røret end stangen, når de har samme areal (samme masse pr. meter), og røret har den dobbelte radius af stangen. Med ens areal er røret altid sværere at bøje end stangen, hvis rørets væg - tykkelse er rimelig og ikke så lille at rørvæggen deformeres hvor man trykker.

Med venlig hilsen
Malte Olsen