Hvad er Planck-længden?

Svar:

Hej Søren, 

Jeg skrev først, at du havde ret i, at Planck-længden ikke er en gudsgivet konstant. Men ved nærmere eftertanke er dét måske egentlig en ganske god beskrivelse. Eller, hvis man ikke tror på nogle guder, så naturgivet.

Det er ikke en begrænsing i vores evne til at måle, men nærmere en begrænsning til vores evne til at udtale os om noget.

Hvad er Planck-længden?

Planck-længden, ℓ_P, er en længde der er udregnet ved at kombinere nogle fundamentale naturkonstanter. Disse konstanter er hhv.

• ℏ (udtales "h–streg"), som er Plancks konstant, h, divideret med 2π. Plancks konstant er et meget lille tal, som optræder ifm. kvantemekanik.
• G, Newtons gravitationskonstant. Den konstant optræder ifm. tyngdekraft, og den er også temmelig lille, fordi tyngdekraften er en meget svag kraft.
• c, lysets fart. Lys bevæger sig sygt hurtigt, så c er et meget stort tal.

Den eneste måde at kombinere dem på og få en længde er ved at sige, at

ℓ_P = √(ℏG/c³)

Her ganger vi to små tal, og dividerer med et meget stort tal i tredje potens. Selvom vi også tager kvadratroden, bliver resultatet et meget, meget lille tal, mere specifikt 1.6×10^–33 cm.

Planck-længden repræsenterer er længde, hvorunder det ikke længere giver mening at bruge den fysik, vi kender. Fysikken bryder så at sige sammen på mindre skalaer. Det betyder ikke nødvendigvis, at der ikke eksisterer mindre skalaer, men nogle fysikere hypotiserer, at selve rummet er kvantiseret på denne skala.

 Altså, at rummet så at sige er pixeleret, og bevægelse gennem rummet foregår i bittesmå ryk. Andre forestiller sig, at rummet bliver ujævnt eller skum-agtigt på denne skala. Jeg tror det eneste vi kan sige med sikkerhed om Planck-længden er, at vi ikke rigtig ved, hvad der sker på så små skalaer.

Der er dog ikke noget supermagisk ved lige præcis Planck-længden. Den skal mere forstås som en "karakteristisk skala". De effekter, vi taler om, og "sammenbruddet af fysikken" sker ikke nødvendigvis lige ved den præcise værdi, som Planck-længden er (hvis de overhovedet sker). Det kan så vidt jeg ved sagtens være 10 gange mindre eller 100 gange større.

Men vi er stadig meget, meget langt fra at kunne måle måle afstande på så lille skala. Den mindste længde vi kan måle med sikkerhed er givet ved usikkerheden, Δx, på målingen. Denne usikkerhed hænger samme med usikkerheden på, hvor høj fart vi kan accelerere partikler op til, eller rettere, hvor høj impuls, Δp, som er masse gange hastighed.

Kvantemekanisk ubestemmelighed

Sammenhængen er givet ved Heisenbergs ubestemmelighedsprincip:

Δx Δp  ⪎  ℏ/2.

Denne fundamentale ligning siger, at vi aldrig kan bestemme position og impuls med mindre usikkerhed, end at deres produkt mindst skal være ℏ/2 (som godt nok er et meget lille tal). Der vil altså altid være en usikkerhed på en måling, for hvis f.eks. Δx var 0, ville produktet også blive 0, og det kan det ikke.

I partikelacceleratoren Large Hadron Collider (LHC) kan vi smadre partikler sammen med næsten lysets fart, ved at give dem meget høj energi. Energi kan man måle i Joule eller kcal, men for partikler måler vi normalt i "elektronvolt", eV. Den største mulige energi vi kan give partiklerne i LHC'en er E ~ 13 TeV (tera-elektronvolt), hvilket svarer nogenlunde til sammenstødet mellem to myg. Typisk opnåelige energier er dog lidt mindre, så lad os sige 1 TeV for udregningens skyld. Usikkerheden ΔE er af samme størrelsesorden. Ved disse relativistiske hastigheder er impulsen givet ved p = E / c, hvor c er lysets fart. Usikkerheden er dermed Δp = ΔE / c.

Ved at samle disse ligninger får vi altså, at den mindst afstand vi kan måle, er i omegnen af

x  ~  ℏc / E

Altså, jo højere energi, jo mindre afstande kan vi måle. Med værdierne for ℏ, c og LHC'ens E får vi, at x er i omegnen af 10^–17 cm. Dette er nok til at undersøge f.eks. protonernes indre, som er ca. 10.000 gange større.

Men ak, det er millioner af milliarder gange fra Planck-længden. Da en accelerators maksimale energi skalerer nogenlunde lineært med dens diameter, og LHC'ens diameter er 8.6 km i radius, kræves for at komme ned til Plancklængden accelerator på over 5000 lysår i diameter. Det varer nok lidt før vi får bygget sådan en (der er dog andre metoder, som kunne have lidt lysere udsigter).

Zenons paradoks

Zenons paradoks er et tankeeksperiment fremført af den græske filosof Zeno fra Elea i det 5. årh. f.Kr.: Zenon var forvirret over, hvordan den rapfodede helt Achilleus nogensinde skulle kunne overhale en skildpadde, hvis den fik et forspring.

Hvis f.eks. Achilleus løber 100 gange hurtigere end skildpadden, men denne får 100 meters forspring, så vil den være nået 1 meter frem, når Achilleus når dens startpunkt. Når Achilleus når den ene meter frem, er skildpadden nået yderligere en centimeter frem; når Achilleus når 1 cm frem, er skildpadden nået yderligere 0,1 mm, osv.  Sådan kan vi blive ved i det uendelige, og Achilleus burde derfor aldrig kunne overhale skildpadden, påstod Zenon.

Det er jo noget vås, men det var svært rigtigt at bevise hvorfor, indtil den matematiske disciplin "analyse", eller kalkulus, blev formuleret mere end to årtusinder senere. Løsningen er, at en uendelig sum ikke nødvendigvis giver et uendelig stort tal. I eksemplet ovenfor vil Achilleus overhale skildpadden efter han har løbet 101,010101… meter, eller mere præcist efter 101 ¹/₉₉ meter.

Zenons paradoks er, som alle andre paradokser, altså slet ikke et paradoks. Og det er matematik, ikke fysik. Hvad der fysisk sker nede i nærheden af Planck-længden ved vi ikke.

Dit eksempel med at bytte Achilleus og skildpadden ud med to fotoner dur desværre ikke, af helt fundamentale årsager: Der er ikke noget, der hedder "en hurtig og en langsom foton." Alle fotoner bevæger sig med lysets fart. Det skyldes, at de ikke har nogen hvilemasse. Hvis du vil have to fotoner til at støde sammen, må du skyde dem ind fra to forskellige retninger (og selv da er det ikke let, og kræver højenergetiske fotoner).

Du kan lave eksperimentet med to partikler, som har en hvilemasse større end nul, og hvor den ene er hurtigere end den anden. Om du skyder en hurtig efter en langsom, eller om du skyder dem ind fra hver sin side, gør ingen forskel; det er blot et spørgsmål om referenceramme.

Om de to partikler rammer hinanden eller ej afhænger af forskellige kvantemekaniske faktorer. På dette niveau kan man ikke bare forestille sig partiklerne som små kugler med et vist tværsnit, men man kan alligevel godt lade som om de har et vist tværsnit. Tværsnittet afhænger så bare af, hvilken anden partikel de møder, hvor hurtigt de bevæger sig, mm.

Alle partikler, ikke bare fotoner, har både partikel- og bølgeegenskaber. Præcis hvad der sker under en kollision skal man passe på med at fortolke med ord fra den klassiske mekanik. Vi kan beskrive partiklernes fart, retning, masse, ladning osv., og vi kan regne en sandsynlighed ud for, at de kolliderer, og vi kan regne ud, hvad der mest sandsynligt vil ske, hvis de støder sammen, dvs. hvilken retning de flyver i, om de omdannes til andre partikler, mm.

Kvantemekanisk beskrives sådan en process med partiklernes "tilstand", og der findes så en måde at beregnes partiklernes tilstand efter interaktionen, givet deres tilstand før interaktions. Hvad der præcis sker under interaktionen, kan vi ikke besvare. Der er ikke et præcist tidspunkt, at kollisionen finder sted, igen pga. Heisenbergs. Det samme princip, som vi snakkede om ovenfor med position og impuls, gælder nemlig for energi og tid:

ΔE Δt  ≥  ℏ/2

Hvad der sker på kortere tidsskalaer end Δt kan vi ikke vide, ikke engang teoretisk.

Bedste hilsener
Peter Laursen, Astrofysiker og videnskabsformidler,
Cosmic Dawn Center, Niels Bohr Institutet.