Relativistisk reaktionsmasse tæt på lysets hastighed?

Hej Spørg om Fysik
Jeg har gået og undret mig over, hvad konsekvensen ville være, hvis man på et rumskib benytter en reaktionsmasse, der bevæger sig meget tæt på lysets hastighed (F.eks. 0.99c).

Helt præcist, så er jeg interesseret i om den relativistiske effekt af "masseforøgelse" sætter ind på reaktionsmassen, således at massen kommer til at virke betydeligt større end den realt set er?

På forhånd tak!

Med venlig hilsen
E. L.

Du har helt ret i, at man må tage hensyn til relativistiske effekter, hvis man ved fremdriften af en raket kunne kaste reaktionsmassen ud med hastigheder af samme størrelsesordner som lyshastigheden.

For at forstå fremdriften af en raket, er det enklest at anvende begrebet impulsbevarelse.

Hvis man før udsendelsen af reaktionsmassen tænker sig at betragte raketten i dens hvilesystem, hvor dens impuls er nul, så kan vi tænke os, at man udstøder en tusindedel af rakettens masse med en vis hastighed, v, i forhold til raketten. Raketten vil derved opnå en hastighed på en tusindedel af reaktionsmassens hastighed, i modsat retning.

Impulsregnskabet lyder:  

  (m/1000) * v =  m * (v/1000),

idet den klassiske definition af impuls jo er, p = m*v. Impulsen af reaktionsmassen (venstresiden) er altså lig impulsen, som raketten opnår (højresiden). Rakettens hastighed bliver altså u = v/1000. Bemærk at vi antager at reaktionsmassen sendes 100% bagud.

[Jeg har snydt lidt i det ovenstående, idet selvfølgelig massen af raket minus reaktionsmasse er 0.999*m, og ikke m, som jeg har antaget. Men det er blot en lille korrektion, som man sagtens kan tage højde for. Gør det selv, hvis du har lyst.]

Forskel i relativitetsteorien 

Den store forskel i relativitetsteorien er, at definitionen af impuls ændres fra p = m*v til p = g * m * v, hvor g er den såkaldte Lorentz-gamma-faktor. Denne berømte størrelse er defineret ved g =  1/Ö(1-v²/c²) . For små hastigheder, v/c << 1, er g praktisk talt lig 1. Altså er den relativistiske definition af impuls for små hastigheder identisk med den klassiske. Men for store hastigheder begynder der at ske noget nyt.

Lad os antage, at man kunne sende reaktionsmassen afsted med 99% af lyshastigheden, altså v=0.99c. Ved at sætte ind i udtrykket for g fås da, g = 7.1. Den relativistiske impuls af et objekt, der bevæger sig med denne hastighed er dermed 7.1 gange større, end den ville have været, hvis man (fejlagtigt!) havde benyttet Newtons klassiske udtryk. For raketten ovenfor, som udsender en tusindedel af sin masse, får man følgende hastigheder

Klassisk (forkert):   u_raket = 0.0010 * c

Relativistisk (korrekt): u_raket = 0.0071 * c

Hastigheden bliver altså en faktor g (her lig med 7.1) større i det relativistiske tilfælde.

Imidlertid glemmer vi noget i det ovennævnte regnskab

Det kræver energi at accelerere reaktionsmassen  op. I relativitetsteorien er det sådan, at energi er ækvivalent med masse, E=mc². Helt konkret betyder dette, at man for at "skabe" energi må "ødelægge" masse.

Bevægelsesenergien tilsvarende reaktionsmassen på 1 kg, som bevæger sig med 99% af lyshastigheden er (g-1) * m * c². Altså i vort tilfælde 6.1*m*c². For at skabe denne energimængde må vi "ødelægge" 6.1 kg masse. Den mest effektive måde at gøre dette på ville være, hvis rumskibet indeholdt en beholder med antistof. Vi kunne da tage 3.05 kg antistof og lade det reagere med 3.05 kg stof. Dermed ville både stof og anti-stof forsvinde og omdannes fuldstændig til energi.

Den frigivne energi vil kunne benyttes til ovennævnte accelerationsproces. (Igen bliver det matematisk lidt kompliceret, idet raketten nu pludselig vejer 7.1 kg mindre end startvægten på 1000 kg, men jeg håber princippet er klart.)

Ovenfor har vi sådan uden videre omdannet 6.1 kg stof til energi. For at sætte det hele i relief, kan det bemærkes, at ved Hisoshima-bomben, som blev kastet i august 1945, blev 60 g stof omdannet til energi. For ovennævnte accelerationsproces taler vi altså om energimængder, der er hundrede gange Hiroshima-bomben blot for at nå næsten 1% af lyshastigheden. Relativistiske rumrejser er altså ikke bare sådan noget man går ud og gør!

Den mest almindelige form for fremdriftsmekaniske for raketter er baseret på kemiske reaktioner, hvorved en udstødningsgas udsendes. Ved sådanne processer er reaktionsmassens hastighed langt fra det relativistiske.

Flere eksisterende rumsonder har haft reaktionssystemer, der har brugt masser med store hastigheder, normalt ret små motorer, som skal virke i lang tid, hvor massen sendes ud igennem en art accelerator, og hvor hastigheden altså genereres elektronisk ikke kemisk.

Man har ofte brugt ædelgassen Xenon (også Argon, Hydrogen Cæsium og Litium har været brugt). En sådan motor giver kun en lille kraft, men den er mere end 10 gange så effektiv pr. gram reaktionsmasse end kemiske motorer.

Hvis man har solen til rådighed, så elektriciteten kan skabes via solpaneler, er det en oplagt mulighed, som er økonomisk, fordi man får det maksimale ud af hvert gram. Men heller ikke her er reaktionsmassens hastighed relativistisk.

Det relativistiske tilfælde kommer man til umiddelbart, hvis man forestiller sig motorer, som anvendte lys som reaktionsmasse.

Lyskvanter har som bekendt ingen masse, men ikke desto mindre har de ifølge relativitetsteorien impuls. Ovennævnte impulsregnskab vil således også kunne anvendes for en såkaldt foton-raket. Lys er i en eller anden grad afprøvet som reaktionsmasse med nogle solsejleksperimenter, hvor solens lys var drivkraften (meget store lette reflekterende plastikflader). Et sådant solsejleksperiment ville principielt kunne opnå meget høje hastigheder, hvis det var stort nok og virkede længe nok.

En kraftigere foton-motor ville kunne tænkes, hvis vi bruger de fotoner, der skabes ved stof-antistof annihilations-processer, og sender dem 100 % bagud. Teknisk kan vi ikke det i dag, idet der er tale om gammastråling. Men det ville være den absolut mest effektive form for acceleration.

Med venlig hilsen
Mogens Dam
Malte Olsen