Ure på GPS satellitter

Hej Spørg om Fysik
I en artikel om GPS på jeres hjemmeside (GPS: Global Positioning System) præsenterer I nogle tal.

Der står, at ifølge den almene relativitet, så går tid hurtigere, jo mindre effekt der er fra tyngdekraften. Og derfor går urene i satellitter 45 mikrosekunder hurtigere end urene på Jorden pr. dag. Hvilke udregninger ligger til grund for netop 45 mikrosekunder ? 

Mange hilsner og på forhånd tak 

Vi vil søge at give en forklaring. Den fulde udledning er forholdsvis omfattende kræver en del matematik og relativitetsteori, og der vil derfor kun blive angivet nogle udledte formler og sammenhængen søgt forklaret.

Gravitationspotentialet af en masse, m,  i jordens tyngdefelt er U = m*V, hvor V = G*m_J/r er jordens gravitationspotential i afstanden r fra jordcentret og med jordmassen m_J. Når vi taler om en foton, erstatter man m med E/c,², hvor for en foton gælder E = h*f, E er energien, f frekvensen af fotonen og h plancks konstant.  Hvis fotonen bevæger sig nedad i jordens gravitationsfelt, mister den derfor en potentiel energi på (h*f/c²)* ΔV og vinder en kinetisk energi på h* Δf. Herfra kan man udlede, at den faldne foton er gravitations blåskiftet (opad i frekvens) med Δf = f*( ΔV/c²).

GPS satellit

Hvis uret derfor er synkroniseret med en elektromagnetisk bølge, vil det kredsende ur fra jordens overflade, blive set som gående hurtigere på grund af det gravitionelle frekvensskift. Hvis der går 1 sek. på jorden, vil satellituret vinde ΔV/c² =  ΔU/E₀ sek. Her er U det gravitionelle potentielle energi af uret. Summen af de to relativistiske effekter kan udtrykkes som: Δt/τ = (K-U)/E₀, hvor Δt er den tid det kredsende ur har tabt, imens et tidsinterval τ er gået på det jordbundne ur. K er en standardbetegnelse for en bevægelsesbeskrivelse med den potentielle energi som 0 på jordoverfladen.

Eksempel: En GPS satellit i en højde på 26 580 km (4 gange jordradius). Newtons 2 lov giver a=F/m, hvor a er accelerationen, F kraften og m massen, som er ensbetydende med ved indsættelse v²/r  = g*r²_J/r, hvor jordoverfladens gravitationsfelt kan udtrykkes g = G*m_J/r²_J = 9,8 m/s². Her er  G den universelle gravitationskonstant, r_J  jordradius og m_J jordmassen. Det kan vises, at tids-tabet, som kommer fra satellittens kredshastighed er  -g*r_J/2*r*c² og ved indsættelse giver det -7,2 μs/dag. Relativistisk kan det vises, at tidsgevinsten som kommer fra satellittens højde, kan skrives:

ΔV/c² = (1/c²)*(- G*m_J/r + G*m_J/r_J) = (g*r_J/c²)*(1-r_J/r). Indsætter man her, fås + 45,6 μs/dag. Som det ses, er de to modsat rettede bidrag højdeafhængige. I en højde r = 1,5 r_J ophæver de præcis hinanden og urene på satellitten og på jorden går ens.

Med venlig hilsen
Carl Christian Tscherning
Malte Olsen